FACOLTA' DI INGEGNERIA

Laurea in Ingegneria Elettronica, Informatica, e delle Telecomunicazioni

TRASMISSIONE DEL CALORE

CORSO DI FISICA TECNICA

Docente: prof.Angelo Farina

Trascrizione a cura di Paolo Sanviti

Indirizzo di posta elettronica: paolo_san@libero.it

Indice

1. Scambio termico

1.1. Conducibilità termica l

1.2. Conduttore elettrico percorso da corrente

2. Esercizi sullo scambio termico

2.1. Raggio critico di un isolante

2.2. Tubo percorso da liquido o gas

2.3. Sfera cava isolata

2.4. Tabelle conducibilità termica

SCAMBIO TERMICO

1.1. Conducibilità termica l

Quando due corpi a temperature differenti si trovano a contatto, si verifica una trasmissione di calore dal corpo più caldo a quello più freddo, in altre parole si ha quello che è stato definito uno scambio termico per conduzione.

Questo fenomeno è già stato descritto per mezzo della legge di Fourier:

dove la conducibilità termica l (W/mK) è la grandezza caratteristica del materiale che viene generalmente considerata costante per consentire la semplificazione dei calcoli in cui compare.

Questa imprecisione è ovviamente trascurabile, poiché la soluzione di problemi riguardanti lo scambio termico comportano sempre una certa approssimazione dovuta all'effettiva difficoltà di descrivere esaurientemente il fenomeno fisico con modelli matematici. Maggiormente l'errore è trascurabile considerando l'andamento pressoché lineare della variabile; l è tuttavia funzione della temperatura:

l=l(T) (2)

Se risulta necessario eseguire calcoli più accurati, la conducibilità termica non può più essere considerata costane, la grandezza l deve quindi essere integrata (nell'Equazione di Fourier (3) l = cost era stata portata fuori dal laplaciano).

Consideriamo per semplicità il comportamento in un caso mono dimensionale di una lastra la cui temperatura varia tra T₁ e T₀, prima per l = cost:

Fig.1 - Andamento lineare di l = cost.

Poi per l = l(T):

Fig.2 - Andamento curvilineo di l=l(T).

Come emerge dal grafico l'approssimazione lineare comporta una perdita d'informazione.

Analizziamo il secondo caso utilizzando l'Equazione di Fourier:

Imponiamo le condizioni iniziali:

1. q_g=0 perché non c'è generazione

2. regime stazionario: derivata rispetto al tempo nulla

L'equazione (3) diventa:

(essendo per la condizione di stazionarietà)

Imponiamo l in funzione della temperatura:

l = A + BT (5)

poi sostituiamo nella (4):

Adesso possiamo separare le variabili:

e portare fuori A e B; integrando una prima volta si ottiene:

Integrando una seconda volta:

Otteniamo quindi una parabola.

Studiamo per semplicità le condizioni al contrario (ovvero in funzione di x anziché di T); osserviamo che imponendo la prima condizione si ottiene:

x = 0 Þ T = T₀ allora C₂ = AT₀ + BT²₀/2

imponendo, invece, la seconda:

x = S Þ T = T₁ allora AT₁ + BT²₁/2 = C₁S + AT₀ + BT²₀/2

quindi ricaviamo C₁:

Infine sostituendo nella (9) C₁ e C₂:

Poiché x varia con il quadrato di T e non viceversa, la parabola assume la seguente forma, con il verso positivo orientato in senso contrario all'asse x (T₀>T₁):

Fig.3 - Parabola orientata lungo -x.

La concavità della parabola rivolta verso l'alto indica il comportamento di l al variare della temperatura:

• B > 0 Þ la crescita della temperatura fa aumentare la conducibilità termica

• B < 0 Þ la temperatura in diminuzione fa aumentare la conducibilità termica

Se si elimina il termine costante C₂ dalla (9) si ottiene:

Per semplicità consideriamo il caso T₀ < T₁; al crescere di T la curva continua a crescere (nella fig. 4 la curva tratteggiata).

Fig.4 - Andamento di l al crescere della temperatura.

Consideriamo la legge di Fourier generalizzata, applicata cioè ad un vettore nello spazio:

Poiché il calore scambiato è costante, anche il prodotto -l*gradT è costante.

Perciò, nei materiali normalmente, la concavità della parabola è sempre rivolta verso l'alto; infatti, il valore di l è piuttosto piccolo e quindi di conseguenza aumenta il gradiente di T.

Prendiamo, ad esempio, il rivestimento di una caldaia (Fig.5) e osserviamo il comportamento della conducibilità termica l nei diversi strati di materiali che formano la struttura.

Se l è costante per calcolare lo scambio termico attraverso lo strato isolante della parete della caldaia è sufficiente considerare la serie delle resistenze equivalenti:

Poiché l non è costante troviamo al centro della parete temperature molto maggiori di quanto previsto; questo comporta una notevole sollecitazione dell'isolante che si trova a contatto con temperature molto elevate frutto del forte gradiente di T, causato dalla grande differenza di temperatura tra la parete interna e quella esterna della caldaia.

Fig.5 - Parete isolante della caldaia.

NOTA

Le tabelle riportano dati sulla variabilità di l solo per alcune temperature prefissate, perciò se non si conoscono i coefficienti A e B della formula (5) risulta inevitabile considerare l costante anziché funzione della temperatura.

È quindi indispensabile prevedere un adeguato fattore di sicurezza nella progettazione di impianti di questo tipo.

1.2. Conduttore elettrico percorso da corrente

Consideriamo un conduttore elettrico percorso da corrente e rivestito da una guaina di materiale isolante.

Lo strato interno è un materiale di tipo metallico ad elevato potere conduttivo (ad esempio Cu, Al, ecc.), lo strato esterno una guaina di materiale plastico isolante, adatto sia a dissipare il calore, sia a proteggere da un eventuale contatto con il filo.

In Fig. 6 è riportato un esempio di conduttore rame pieno:

Fig.6 - Isometria cilindrica conduttore elettrico.

Dentro al rame la T non è uniforme poiché si ha generazione di calore per effetto Joule, ma l'elevata conducibilità del materiale contribuisce a livellare i dislivelli di temperatura.

Il calore interno prodotto va comunque dissipato, poiché per quanto piccolo (è dell'ordine di 1/1000) è sufficiente a produrre un incremento di temperatura dannoso per le apparecchiature.

Per calcolare la potenza dispersa da un conduttore di lunghezza L, consideriamo la serie delle resistenze termiche equivalenti (Fig.7):

r₁ = resistenza di conduzione del materiale isolante

r₂ = resistenza di convezione dell'aria esterna all'isolante

Fig.7 - Rappresentazione mediante l'uso delle resistenze.

Per lo strato conduttivo ricordiamo l'espressione della potenza termica scambiata da uno strato cilindrico

Quindi otteniamo la resistenza termica di uno strato cilindrico:

Mentre la potenza termica scambiata per convezione:

E la resistenza termica relativa è uguale a:

Sommando le due resistenze termiche equivalenti otteniamo la potenza termica dissipata attraverso il rivestimento:

Dove h, l, T_f, T_¥ sono rispettivamente il coefficiente di convezione all'esterno dell'isolante, la conducibilità termica della guaina isolante, la temperatura all'interno dell'isolante e la temperatura all'esterno dell'isolante.

La potenza termica dissipata attraverso il rivestimento isolante è funzione del raggio della guaina stessa; è interessante notare come la funzione abbia un massimo in prossimità del raggio critico R_c (Fig.8).

Al crescere del raggio r₂ della guaina prima si ha un aumento della potenza termica dissipata, poi raggiunto il raggio critico inizia a diminuire. Il fenomeno è causato dalla diminuzione della resistenza convettiva.

Finché il raggio r₂ è piccolo si ha un aumento della superficie dissipativa rispetto al filo nudo, quindi cresce lo scambio termico e diminuisce la temperatura del filo; poi al crescere del raggio il termine a denominatore cresce troppo e aumenta la resistenza termica.

Se non ci fosse la guaina:

Fig.8 - Raggio critico isolante

NOTA

Tanto maggiore è la resistenza termica del materiale isolante e tanto maggiore va il rivestimento del filo conduttore.

Infatti, quando c'è un corto circuito, si ha un principio di surriscaldamento del filo, la guaina isolante inizia a sciogliersi rendendo il processo irreversibile, poiché la capacità dissipativi del rivestimento diminuisce progressivamente fino alla fusione completa del conduttore.

R_c è il raggio ottimale: ricaviamo il suo valore effettivo trovando il massimo nell'equazione (19). Deriviamo il denominatore rispetto a r₂ e uguagliamo a 0:

(la costante 1/(2pL) si può eliminare)

Poiché r₂ > r₁ ¹ 0 dalla (22) otteniamo il raggio critico:

Se ci fosse anche la componente dell'irraggiamento al posto do h useremmo il coefficiente convettivo totale h_tot.

Quando il raggio della guaina supera il raggio ottimale si ha un'inversione di tendenza e il contributo dissipativo della maggior superficie è superato dal contributo negativo della guaina isolante. Se, ad esempio, il rivestimento esterno ricopre un tubo dell'acqua calda il suo contributo non deve più essere dissipativo, ma bensì isolante: il raggio deve quindi essere per lo meno superiore al punto di flesso del grafico.

Per trovare il flesso è sufficiente annullare la derivata seconda:

Il raggio di flesso è perciò:

Quindi il raggio di flesso (minimo comportamento isolante) è il doppio del raggio critico (massimo comportamento isolante). Per questo motivo il raggio critico di molti isolanti per tubi dell'acqua è inferiore al raggio del tubo metallico in cui scorre il liquido.

ESERCIZI SULLO SCAMBIO TERMICO

2.1. Raggio critico di un isolante

Sia dato un filo elettrico (Fig.9) di sezione S pari a 1mm² con una resistenza R, per unità di lunghezza, pari a 1W/m. Il filo è percorso da una corrente i pari a 5A (è un conduttore di bassa qualità).

Determinare la temperatura del filo, conoscendo il valore del coefficiente di convezione esterno h_e pari a 50W/m²°K. Tale valore è volutamente elevato in quanto comprende anche la componente dello scambio termico per irraggiamento.

Determinare infine la potenza dispersa per metro di lunghezza:

Fig.9 - Filo elettrico.

Soluzione:

La potenza dispersa per la componente convettiva è uguale a:

Dove S_f è la superficie esterna del filo, T_f è la temperatura del filo e T_¥ = 20°C.

La potenza termica dispersa per effetto Joule per unità di lunghezza è uguale a:

Considerando che il filo ha una sezione S pari a 1mm², il suo raggio r_f si calcola nel seguente modo:

Possiamo quindi ricavare la temperatura del filo:

E' una temperatura pericolosa, il filo nudo andrà necessariamente ricoperto con un isolante adeguato per evitare che si bruci.

Il raggio ottimale della guaina isolante sarà il raggio critico.

Supponiamo di utilizzare un materiale come la gomma con una conducibilità termica l_g pari a 1W/m°K, allora il raggio ottimale sarà:

Lo spessore della guaina è chiaramente esagerato rispetto al diametro del filo poiché la conducibilità termica è troppo elevata..

La nuova potenza scambiata varrà:

E la nuova temperatura del conduttore sarà:

La temperatura del conduttore con il nuovo strato d'isolante è accettabile.

2.2. Tubo percorso da liquido o gas

Si consideri un tubo vuoto percorso da un liquido o da un gas rivestito con materiale isolante (fig.10). Il condotto è composto da uno strato cilindrico doppio nel quale la superficie interna è normalmente realizzata con un materiale piuttosto conduttivo per il calore, in quanto metallico, mentre intorno generalmente si utilizza un materiale che impedisca la dispersione del calore.

Fig.10 - Tubo con acqua.

La resistenza interna lega la temperatura media del fluido a quella di parete del tubo all'interno.

Poiché il tubo è di metallo (un ottimo conduttore termico) la differenza di temperatura fra le due pareti esterna ed interna è trascurabile: T_pe " T_pi.

Dati:

Temperatura media del fluido: T_mf = 80°C

Temperatura dell'aria: T_¥ = 20°C

Raggio interno del tubo: R_int = 0.05m

Raggio esterno del tubo: R_tub = 0.055m

Raggio dell'isolante: R_iso = 0.07m

Coefficiente di convezione del fluido: h₁ = 100 W/m²K

Coefficiente di convezione dell'aria: h₂ = 5 W/m²K

Conducibilità termica del tubo: l_tub = 50W/mK

Conducibilità termica dell'isolante: l_iso = 0.05W/mK

Soluzione:

Utilizziamo il metodo delle resistenze equivalenti (Fig.11):

Fig.11 - Rappresentazione mediante l'uso delle resistenze.

Sommando i singoli contributi si ottiene:

La potenza complessiva scambiata vale:

E quindi la potenza scambiata per unità di lunghezza risulta uguale a:

Dai calcoli risulta evidente che la resistenza del metallo è del tutto trascurabile (il materiale è un ottimo conduttore e offre una resistenza molto piccola), mentre il termine convettivo del liquido interno era quasi trascurabile. Il coefficiente di convezione del fluido è ovviamente molto elevato, ma non abbastanza da far trascurare la resistenza interna senza commettere una piccola imprecisione.

Nel caso di due fluidi a contatto (ad esempio aria-aria), il termine sarebbe invece essenziale per ottenere un risultato corretto.

2.3. Sfera cava isolata

Consideriamo una sfera cava di raggio interno R₁ e di raggio esterno R₂, avvolta in uno strato esterno isolante: ad esempio un'autoclave.

Supponiamo che la temperatura della superficie sferica interna sia Tmf e quella della superficie sferica esterna del materiale isolante sia T_¥.

Nell'interno del contenitore metallico è contenuto un fluido alla temperatura media T_mf (Fig.12). Trovare la potenza termica complessiva scambiata.

Fig.12 - Strato sferico con isolante.

Dati:

Temperatura media del fluido: T_mf

Temperatura dell'aria: T_¥

Raggio interno della sfera metallica: R₁

Raggio esterno della sfera metallica: R₂

Raggio dell'isolante: R₃

Coefficiente di convezione del fluido: h₁

Coefficiente di convezione dell'aria: h₂

Conducibilità termica della sfera metallica: l

Conducibilità termica dell'isolante: l_i

Soluzione:

In regime stazionario la potenza termica è uguale a:

Per trovare la potenza termica complessiva scambiata dalla sfera isolata (35), utilizziamo il metodo delle resistenze equivalenti (Fig.13):

Fig.13 - Rappresentazione mediante l'uso delle resistenze.

Quindi dalla (35) si ottiene la potenza termica cercata:

2.4. Tabelle conducibilità termica

Materiale	Temperatura (°C)	Conducibilità termica l (W/mK)
Metalli
Acciaio	20	52
Alluminio	20	220
Argento	20	420
Oro	40	296
Piombo	20	35
Platino	20	70
Rame	20	380
Metalli liquidi
Mercurio	10	8
Piombo	500	15
Potassio	500	37
Sodio	500	66
Non metalli
Amianto fuso	0	0.15
Asfalto	20	0.70
Cotone	30	0.04
Ghiaccio	0	2.2
Lana di vetro	0	0.035
Polistirolo espanso	0	0.032
Poliuretano espanso	0	0.021
Vetro	15	0.73
Sughero in lastre	0	0.04
Liquidi
Acqua	0	0.57
Acqua	50	0.64
Acqua	100	0.67
Ammoniaca	0	0.54
Glicerina	20	0.28
Gas ( p = 1 bar)
Aria	0	0.024
Aria	100	0.031
Azoto	0	0.024
Idrogeno	0	0.16
Ossigeno	0	0.025
Vapor d'acqua saturo	200	0.034

Materiale	Temperatura (°C)	Conducibilità termica l (W/mK)
Miscellanea
Acido formico	20	0.180
Glicerina	20	0.195
Toluene	20	0.16
Acido nitrico	20	0.28
Acetone	20	0.176
Coke	400	0.095
Vetro (pyrex)	193	1.0